Basic Concepts of Probability

यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiments)

एक यादृच्छिक प्रयोग कोई भी ऐसी प्रक्रिया, अवलोकन या क्रिया है जहाँ सटीक परिणाम की पहले से निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, भले ही प्रक्रिया को समान परिस्थितियों में दोहराया जाए। हालाँकि, संभावित परिणामों का समूह (set) ज्ञात होता है।

मुख्य विशेषताएँ

• अनिश्चितता: प्रयोग के पूरा होने तक विशिष्ट परिणाम अज्ञातरहता है।
• परिभाषित परिणाम: यद्यपि हम यह नहीं जानते कि कौन सा परिणाम आएगा, हम ठीक-ठीक जानते हैं कि क्या-क्या परिणाम संभव हैं।
• सैद्धांतिकदोहराव: प्रयोग को वैचारिक रूप से एक समान परिस्थितियों में दोहराया जा सकता है।

आर्थिक उदाहरण:

• समष्टि अर्थशास्त्र (Macroeconomics): भारतीय रिजर्व बैंक (RBI) अपनी मौद्रिक नीति की घोषणा करता है। “प्रयोग” बाजार की प्रतिक्रिया का अवलोकन करना है।
• व्यष्टि अर्थशास्त्र (Microeconomics): एक उपभोक्ता सुपरमार्केट में प्रवेश करता है। “प्रयोग” यह देखना है कि वे किस ब्रांड का अनाज (cereal) चुनते हैं।
• वित्त (Finance): कल के कारोबारी सत्र के अंत में निफ्टी 50 (NIFTY 50) इंडेक्स के समापन मूल्य को देखना।

प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) (\(\mathcal{S}\) या \(\Omega\))

प्रतिदर्श समष्टि किसी यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का गणितीय समुच्चय (set) है। हर बार जब प्रयोग किया जाता है, तो परिणाम प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों (elements) में से ठीक एक होना चाहिए।

प्रतिदर्श समष्टि के प्रकार:

• असतत (Discrete - परिमित या गणनीय रूप से अनंत):परिणामों को सूचीबद्ध किया जा सकता है या गिना जा सकता है।
  • उदाहरण: बेंचमार्क ब्याज दर पर केंद्रीय बैंक का निर्णय। \(S= \{\text{increase, decrease, constant}\}\)
    
  • उदाहरण: किसी दिए गए वर्ष में बाजार में प्रवेश करने वाली नई फर्मों की संख्या। \(S = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\)
• सतत (Continuous - अगणनीय रूप से अनंत): परिणाम वास्तविक संख्या रेखा पर एक अंतराल (interval) बनाते हैं। अर्थशास्त्र में यह अत्यधिक आम है।
  • उदाहरण: अगली तिमाही में किसी देश की जीडीपी (GDP) में सटीक प्रतिशत परिवर्तन। \(S = \{x \in \mathbb{R} \mid -100 \leq x < \infty\}\)
  • उदाहरण: ई-कॉमर्स प्लेटफॉर्म पर खरीदारी का निर्णय लेने में एक ग्राहक द्वारा बिताया गया सटीक समय (मिनटों में)। \(S = (0, \infty)\)

घटनाएँ (Events)(\(E\))

एक घटना प्रतिदर्श समष्टि का एक विशिष्ट उपसमुच्चय (subset) है (\(E \subseteq S\))। हम कहते हैं कि कोई घटना “घटित” हुई है यदि यादृच्छिक प्रयोग का वास्तविक परिणाम उस उपसमुच्चय का एक हिस्सा है। जबकि प्रतिदर्श समष्टि उन सभी चीज़ों का प्रतिनिधित्व करती है जो हो सकती हैं, एक घटना उस विशिष्ट स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है जिसका विश्लेषण करने में हमारी दिलचस्पी है।

आर्थिक संदर्भ में घटनाओं के प्रकार:

• सरल (प्रारंभिक) घटना (Simple Event): वह घटना जिसमें ठीक एक परिणाम होता है।
  • उदाहरण: मुद्रास्फीति दर ठीक 2.5% है।
• संयुक्त घटना (Compound Event): वह घटना जिसमें एक से अधिक परिणाम होते हैं।
  • उदाहरण: मुद्रास्फीति दर केंद्रीय बैंक की 6% की ऊपरी सहनशीलता सीमा (tolerance band) से अधिक हो जाती है।
    \(E = \{x \in S \mid x > 6\}\)
• परस्पर अपवर्जी (असंयुक्त) घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): दो घटनाएँ जो एक ही समय में नहीं हो सकतीं। उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त होता है (\(A \cap B = \emptyset\))।
  • उदाहरण: घटना \(A\) है “अर्थव्यवस्था मंदी में प्रवेश करती है”। घटना \(B\) है “अर्थव्यवस्था में तेजी से विस्तार होता है”।
• निःशेष घटनाएँ (Exhaustive Events): घटनाओं का एक समूह जो एक साथ पूरे प्रतिदर्श समष्टि को कवर करता है। उनका संघ (union) \(S\) के बराबर होता है।
  • उदाहरण: घटना \(A\): “बेरोजगारी बढ़ती है,” घटना \(B\): “बेरोजगारी गिरती है,” घटना \(C\): “बेरोजगारी स्थिर रहती है”।
• स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events): एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने की प्रायिकता के बारे में कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है।
  • उदाहरण: अर्जेंटीना में गंभीर सूखा (घटना \(A\)) और टोक्यो में शहरी आवास प्राथमिकता में बदलाव (घटना \(B\))।